شاه کلید نکات
شاه کلید سوال
![[شاه کلید مای درس] | چهار ضلعی های محاطی و محیطی](https://dl2.my-dars.com/upload/image/0161743429979.jpg)
بر خلاف مثلث، همه چند ضلعی های دیگر، لزوما محاطی و محیطی نیستند. در این بخش به شرایط محاطی و یا محیطی بودن چهار ضلعی می پردازیم.
یک چهار ضلعی محاطی است اگر و فقط اگر دو زاویه مقابل آن مکمل باشد.
فرض می کنیم ABCD محاطی است.
حکم: \(\begin{array}{l}\hat A + \hat C = 180\\\\\hat B + \hat D = 180\end{array}\)
اثبات
\(\begin{array}{l}\hat A = \frac{{BCD}}{2}\\\\\hat C = \frac{{BAD}}{2}\\\\ \Rightarrow \hat A + \hat C = \frac{{BCD + BAD}}{2} = \frac{{360}}{2} = {180^0}\\\\\hat B = \frac{{ADC}}{2}\\\\\hat D = \frac{{ABC}}{2}\\\\ \Rightarrow \hat B + \hat D = \frac{{ADC + ABC}}{2} = \frac{{360}}{2} = {180^0}\end{array}\)
مثال
با توجه به شکل زیر اندازه X و Y را پیدا کنید.
چون چهار ضلعی ABCD محاطی است، زوایای رو به رو مکمل یکدیگرند:
\(\begin{array}{l}\hat A + \hat C = 180 \Rightarrow 2x + 15 + x - 15 = 180\\\\ \Rightarrow 3x = 180 \Rightarrow x = 60\\\\\hat B + \hat D = 180 \Rightarrow y - 10 + y = 180\\\\ \Rightarrow 2y = 190 \Rightarrow y = 95\end{array}\)
در یک چهار ضلعی محیطی مجموع اندازه های دو ضلع مقابل، برابر مجموع اندازه های دو ضلع مقابل دیگر است. (عکس قضیه نیز برقرار است.)
حکم: \(AB + CD = AD + BC\)
اثبات
قبلا دیدیم از هر نقطه بیرون دایره، دو مماس بر دایره رسم کنیم، اندازه های این دو مماس برابرند.
\(\begin{array}{l}AF = AE\\\\BF = BG\\\\CH = CG\\\\DH = ED\\\\ \Rightarrow AF + BF + CH + DH = AE + ED + BG + CG\\\\ \Rightarrow AB + CD = AD + BC\end{array}\)
یک چند ضلعی محدب را منتظم گوییم هر گاه تمام ضلع های آن هم اندازه و تمام زاویه های آن نیز هم اندازه باشند.
هر چند ضلعی منتظم هم محاطی است و هم محیطی.
1 فرض کنیم اندازه ضلع چهارم برابر x باشد، پس اندازه های اضلاع چهارضلعی به ترتیب 7، 11، 16 و x است. اندازه ضلع مجهول را بدست آورید.
طبق قضیه: \(x + 11 = 16 + 7 \Rightarrow x = 23 - 11 = 12\)
2 ثابت کنید یک ذوزنقه محاطی است، اگر و فقط اگر متساوی الساقین باشد.
فرض کنیم ذوزنقه ABCD متساوی الساقین باشد. (\(AB = CD\;,\;AD\parallel BC\) )
نشان می دهیم محاطی است یعنی زاویه های مقابل مکمل اند. (\(\hat A + \hat C = \hat B + \hat D = {180^0}\) )
\(\begin{array}{l}ABCD \Rightarrow \hat B = \hat C\\\\AD\parallel BC \Rightarrow \hat A + \hat B = {180^0}\\\\ \Rightarrow \hat A + \hat C = {180^0} = \hat B + \hat D\end{array}\)
تهیه کننده: امیرحسین مطلبی
1736019749.png)
